В данной работе расcматрывается задача построения оптимальных разностных формул для приближенного решения задачи Коши в пространстве Соболева, функций производные — го порядка (в обобщенном смысле) интегрируемых с квадратом. Пользуясь дискретным аналогом дифференциального оператора 2-го порядка найдется представления оптимальных разностных формул. В первом пункте рассмотрена построения оптимальных явных разностных формул типа Адамса. Здесь минимизируя нормы функционала погрешности по коэффициентам получена система линейных алгебраических уравнений. Это система приведена к системе уравнений в свёртках. И она полностью решена с помощью дискретного аналога дифференциального оператора второго порядка.
Во втором пункте построена оптимальная неявная разностная формула в пространстве Соболева. В остальных пунктах вычислена квадрат нормы функционала погрешности оптимальных явных и неявных разностных формул в сопряженном пространстве Соболева. Анализ работы показывает, что неявные формулы дают хорошую сходимость чем явных.
оптимальная квадратурная формула, пространство гильберта, функционал погрешности, метод Соболева, функция дискретного аргумента, порядок сходимости.
In this paper, we consider the problem of constructing optimal difference formulas for an approximate solution to the Cauchy problem in the Sobolev space of functions of the th order derivatives (in the generalized sense) integrable with a square. Using a discrete analogue of a differential operator of the first order, one can find representations of optimal difference formulas. In the first section, we consider the construction of optimal explicit difference formulas of the Adams type. Here, minimizing the norms of the error functional with respect to the coefficients, a system of linear algebraic equations is obtained. This system is reduced to a system of convolution equations. And it is completely solved using a discrete analogue of a second-order differential operator.
In the second section, an optimal implicit difference formula in the Sobolev space is constructed. In the remaining sections, the square of the norm of the error functional of optimal explicit and implicit difference formulas is calculated. In the dual Sobolev space. Analysis of the work shows that implicit formulas give better convergence than explicit ones. optimal quadrature formula, Hilbert space, the error functional, S.L. Sobolev’s method, discrete argument function, the order of convergence.
Оптимизация разностных методов в фактор пространстве Соболева
Шадиметов Х. М., Мизакабилов Р. Н.
Sun Jun 26 13:09:07 2022
1 Оптимальные явные разностные формулы в фактор пространстве Соболева .
Рассмотрим явные разностные формулы вида
(1)
с функционалом погрешности
(2)
в пространстве . Здесь дельта функция Дирака, и коэффициенты разностных формул вида (1). Будем рассматривать функцию принадлежащие гильбертову пространству Соболева . Гильбертово пространство класс вещественных функций отличающихся на полином степени с производными (в смысле обобщенных функций) порядка квадратично интегрируемыми на интервале и скалярным произведением
Полунорма в пространстве Соболева задается формулой
Известно [1], что пространство вложено в пространство непрерывных функций, то линейным будет и функционал погрешности разностной формулы
где дельта функция Дирака. Задача о построении разностной формулы вида (1) в функциональной постановке состоит в нахождении такого функционала (2), норма которого в пространстве минимальна. Оптимизация вычислительных алгоритмов рассмотрены в работах [20]-[38].
Известно [24], что устойчивость в смысле Далквиста так же, как сильная устойчивость, определяется только коэффициентами , По этой причине наш поиск оптимальной формулы связан лишь с изменением . По этому мы в этом пункте рассмотрим разностные формулы типа Адамса-Башфорта, т.е , , , . Как в работе [38] норму функционала погрешности (2) разностной явной формулы (1) минимизируя по коэффициентам в пространстве , получаем систему линейных алгебраических уравнений
(3)
(4)
Здесь неизвестная константа, оптимальные коэффициенты. Учитывая, что , , , систему (3), (4) приводим к виду.
(5)
(6)
(7)
Считая, что при и систему (5), (6) перепишем в виде уравнений в свёртках
(8)
Обозначим через
Из (8) следует, что
Теперь вычисляя свёртку имеем
При получим
при .
Тогда, функция принимает вид
Неизвестные и определим из условий
(9)
Или из равенство вида
.
В обоих случаях и определяются единственным образом. Рассмотрим первый случай. Для этого пользуемся известной формулой [3]
(10)
Вычислим свёртку
из (9) при и имеем
Отсюда в силу (10) получаем
Из второго способа, т.е
В итоге они совпадают.
Из первого способа
Из второго тоже самое, т.е
Итак
Теперь вычислим оптимальные коэффициенты
.
Пусть тогда
Итак .
Вычислим .
Итак
Вычислим при .
Окончательно получим, что оптимальные коэффициенты разностных формул в фактор пространстве имеют вид
Итак мы доказали, следующую теорему
Теорема 1. В фактор пространстве Соболева существует единственная оптимальная явная разностная формула типа Адамса-Башфорта, коэффициенты которых определяются формулами
Итак оптимальная явная разностная формула в имеет вид
Вычислим
так, как то имеем
Здесь определяется формулой (7).
2 Оптимальные неявные разностные формулы типа Адамса – Башфорта в фактор пространстве Соболева
Рассмотрим неявную разностную формулу вида
(11)
с функционалом погрешности
в пространстве .
В этом пункте тоже рассмотрим случай
т.е формулу типа Адамса – Башфорта.
Минимизируя норму функционала погрешности (11) неявной разностной формулы вида (11) по коэффициентам в фактор пространстве
получаем систему линейных алгебраических уравнений [38]
(12)
(13)
Здесь неизвестным являются , -коэффициенты неявных разностных формул, неизвестный член. Как в общем случае считая, что
(12),(13) перепишем в виде уравнений в свёртках
(14)
Обозначим через Из (14) видно, что
при
Теперь находим при и .
Пусть , тогда
Здесь определяется равенством
(15)
Точно также при имеем
Здесь определяется равенством
(16)
Из (15) и (16) немедленно следует, что
(17)
Итак для любого определяется формулой
(18)
Из общей теории известно, что
Здесь
(19)
а дискретная дельта функция которая определяется равенством
Применяя оператор (19) к имеем
(20)
Считая, что при и получаем систему линейных уравнений для нахождения неизвестных и в формуле (18).
Действительно, вычисляя свертку, имеем
(21)
Приравнивая нулю выражение (21) при и пользуясь формулами (18) , (19) получим
Или
Отсюда
В силу формулы (7) , окончательно находим
Тогда, из (17) имеем
итак окончательно в (18) принимает вид
Теперь переходим к вычислению оптимальных коэффициентов неявных разностных формул по формуле (20).
Т. е
Вычислим следующий оптимальный коэффициент
Значить
Переходим к вычислено при
Итак при
Вычислим
Значить
Итак мы доказали следующую
Теорема 2. В фактор пространстве Соболева , существует единственная оптимальная неявная разностная формула, типа Адамса, коэффициенты которых определяются формулами
3 Норма функционала погрешности оптимальной явной разностной формулы типа Адамса в пространстве .
Известно [19], что квадрат нормы явной разностной формулы типа Адамса выражается равенством
(22)
В этом пункте мы будем заниматъся вычесленнем квадрта нормы (22) в случае , т.е. в пространстве . Для этого пользуемся коэффициентами
(23)
и
(24)
При формула (22) принимает вид
(25)
Пользуясь формулами (23) и (24) последовательно вычисляя, выражение (25) приводим к виду
Итак мы доказали следующую
Теорема 3. Квадрат нормы функционала погрешности оптимальный явной разностной формулы вида (1) в фактор пространстве выражается формулой
4 Норма функционала погрешности неявной оптимальной разностной формулы типа Адамса в пространстве Соболева .
В этом случае квадрат нормы функционала погрешности неявной разностной формулы типа Адамса вида (11) выражается равенством
(26)
В настоящем пункте формулу (26) мы будем вычислять при т.е в фактор пространстве Соболева .
Здесь мы пользуемся оптимальными коэффициентами неявной разностной формулы вида (11), т.е формулами
(27)
и
(28)
В случае формула (26) принимает вид
(29)
Подставляя в формуле (29) в место и ихние выражения определяемый формулами (27) , (28) после некоторых упрощений получаем
Итак, мы доказали следующую.
Теорема 4. Среди всех неявных разностных формул вида (11) в пространстве Соболева , существует единственная неявная оптимальная разностная формула, квадрат нормы функционала погрешности которой определяется равенством
References
[20] Sobolev S.L. Introduction to the Theory of Cubature Formulas // Nauka, Moscow, 1974.
[21] Shadimetov Kh. M., Hayotov A. R., Akhmedov D.M. Optimal quadrature formulas for Cauchy type singular integrals in sobolev space // Applied Mathematics and Computation, 2015. 263. С. 302–314.
[3] Shadimetov Kh. M. Diskretniy analog operatora i ego postroyeniye // Problems of Computational and Applied Mathematics, 1985. С. 22–35.
[23] Shadimetov Kh. M. Optimal lattice quadrature and cubature formulas in Sobolev spaces // Problems of Computational and Applied Mathematics, 2019. С. 22-35.
[24] Babuska I., Vitasek E and Prager M. Numerical processes for solution of differential equations // Nauka, Moscow, 1969.
[25] Babuska I., Sobolev S. L. Optimization of numerical methods // Nauka, Moscow, 1965.
[26] Shadimetov Kh. M., Mirzakabilov R. N. The problem on construction of difference formulas // Problems of Computational and Applied Mathematics, 2018. С. 95–101.
[27] Sobolev S. L., Vaskevich V. L. The Theory of Cubature Formulas // Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1997.
[28] Shadimetov Kh. M. Weighted optimal cubature formulas in a periodic Sobolev space. // Sib. jurn. calculated mathematics. Novosibirsk, 1999. С. 185–196.
[29] Shadimetov Kh. M. On optimal lattice quadrature and cubature formulas. // Russian Academy of Sciences, 2001. С. 597–599.
[30] Shadimetov Kh. M. Functioanal statement of the problem of optimal difference formulas. // Uzbek mathematical Journal , 2015. С. 179–183.
[31] Akhmedov D. M., Hayotov A. R., Shadimetov Kh. M. Optimal quadrature formulas with derivatives for Cauchy type singular integrals. // Applied Mathematics and Computation. 2018. 317. С. 150–159.
[32] Boltayev N. D., Hayotov A. R., Shadimetov Kh. M. Construction of optimal quadrature formula for numerical calculation of Fourier coefficients in Sobolev space . // American Journal of Numerical Analysis , 2016. 4. С. 1–7.
[33] Dahlquits G. Convergence and stability in the numerical integration of ordinary differential equations // Math. Scand. , 1959. 4. С. 33–52.
[34] Dahlquits G. Stability and error bounds in the numerical integration of ordinary differential equations // Trans. Roy. Inst. Technol. Stockholm , 1959.
[35] Hayotov A. R., Shadimetov Kh. M. Optimal quadrature formulas in the sense of sard in space. // Applied Mathematics and Computation , 2014. 51. С. 211–243.
[36] Henrici P. Discrete variable methods in ordinary differential equations. // J.Wihey Sons, Ins., New York, London , 1959.
[37] Shadimetov Kh. M. Ob odnom yavnom peredstavlenii diskretnogo analoga differensialnogo operatora go poryadka. // DANRUz 9 , 1985.
[38] Shadimetov Kh. M., Mirzakabilov R. N. On a Construction Method of Optimal Difference Formulas // Computational model and technologies CMT2020-00032, 2021. С. 383–392.
References
[20] S.L. Sobolev. 1974. Introduction to the Theory of Cubature Formulas [Introduction to the Theory of Cubature Formulas]. Nauka, Moscow.
[21] Kh. M. Shadimetov, A. R Hayotov, D.M. Akhmedov. 2015. Optimal quadrature formulas for Cauchy type singular integrals in Sobolev space [Optimal quadrature formulas for Cauchy type singular integrals in Sobolev space]. Applied Mathematics and Computation [Applied Mathematics and Computation] 263(1):302–314.
[37] Kh. M. Shadimetov. 1985. Diskretniy analog operatora i ego postroyeniye [Diskretniy analog operatora i ego postroyeniye]. Problems of Computational and Applied Mathematics [Problems of Computational and Applied Mathematics]:22–35.
[23] Kh. M. Shadimetov. 2019. Optimal lattice quadrature and cubature formulas in Sobolev spaces [ Optimal lattice quadrature and cubature formulas in Sobolev spaces]. Problems of Computational and Applied Mathematics [Problems of Computational and Applied Mathematics]:22–35.
[24] I. Babuska, E. Vitasek and M. Prager. 1969. Optimization of numerical methods [ Optimization of numerical methods]. Nauka, Moscow. (In Russian)
[25] I. Babuska, S. L. Sobolev. 1965. Optimization of numerical methods [Optimization of numerical methods]. Nauka, Moscow. (In Russian)
[26] Kh. M. Shadimetov, R. N. Mirzakabilov. 2018. The problem on construction of difference formulas [The problem on construction of difference formulas]. Problems of Computational and Applied Mathematics [Problems of Computational and Applied Mathematics] :95–101.
[27] S. L. Sobolev, V. L. Vaskevich. 1997. The Theory of Cubature Formulas [ The Theory of Cubature Formulas]. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht [Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht]:
[28] Kh. M. Shadimetov. 1999. Weighted optimal cubature formulas in a periodic Sobolev space. [Weighted optimal cubature formulas in a periodic Sobolev space]. Sib. jurn. calculated mathematics. Novosibirsk [Sib. jurn. calculated mathematics. Novosibirsk] :185–196.(in Russian)
[29] Kh. M. Shadimetov. 2001. On optimal lattice quadrature and cubature formulas. [On optimal lattice quadrature and cubature formulas]. Russian Academy of Sciences [Russian Academy of Sciences] :597–599.(in Russian)
[30] Kh. M. Shadimetov. 2015. Functioanal statement of the problem of optimal difference formulas. [Functioanal statement of the problem of optimal difference formulas.]. Uzbek mathematical Journal [Uzbek mathematical Journa] :179–183.
[31] D. M. Akhmedov, A. R. Hayotov, Kh. M. Shadimetov. 2018. Optimal quadrature formulas with derivatives for Cauchy type singular integrals. [Optimal quadrature formulas with derivatives for Cauchy type singular integrals]. Applied Mathematics and Computation [Applied Mathematics and Computation] 317: 150–159.
[32] N. D. Boltayev, A. R. Hayotov, Kh. M. Shadimetov. 2016. Construction of optimal quadrature formula for numerical calculation of Fourier coefficients in Sobolev space . [Construction of optimal quadrature formula for numerical calculation of Fourier coefficients in Sobolev space ]. American Journal of Numerical Analysis [American Journal of Numerical Analysis] 4: 1–7.
[33] G. Dahlquits. 1959. Convergence and stability in the numerical integration of ordinary differential equations [Convergence and stability in the numerical integration of ordinary differential equations ]. Math. Scand. [Math. Scand.] 4: 33–52.
[34] G. Dahlquits. 1959. Stability and error bounds in the numerical integration of ordinary differential equations [Stability and error bounds in the numerical integration of ordinary differential equations]. Trans. Roy. Inst. Technol. Stockholm [Trans. Roy. Inst. Technol. Stockholm.]
[35] Kh. M. Shadimetov, A. R. Hayotov . 2014. Optimal quadrature formulas in the sense of Sard in space. [Optimal quadrature formulas in the sense of Sard in space]. Applied Mathematics and Computation [Applied Mathematics and Computation] 51: 211–243.
[36] P. Henrici. 1959. Discrete variable methods in ordinary differential equations. [Discrete variable methods in ordinary differential equations]. J.Wihey Sons, Ins., New York, London [J.Wihey Sons, Ins., New York, London]:
[37] Kh. M. Shadimetov. 1985. Ob odnom yavnom peredstavlenii diskretnogo analoga differensialnogo operatora go poryadka. [Ob odnom yavnom peredstavlenii diskretnogo analoga differensialnogo operatora go poryadka]. DANRUz [DANRUz]
[38] Kh. M. Shadimetov,R. N. Mirzakabilov. 2021. On a Construction Method of Optimal Difference Formulas. [On a Construction Method of Optimal Difference Formulas]. Computational model and technologies CMT2020-00032 [Computational model and technologies CMT2020-00032]:383–392.
